Die Data Envelopment Analysis (DEA) ist eine pragmatische Methode, um die relative Effizienz im Rahmen von Benchmarks zu messen, selbst wenn nicht-monetäre Maßgrößen herangezogen werden.
Dieser Artikel wird zunächst ein Ziel festlegen. Anschließend wird die DEA in aller Kürze vorgestellt. Aufbauend auf diese Erkenntnisse wird ein Bewertungsschema entwickelt, das die gesammelten Rohdaten (hier nicht einsehbar) zu Informationen unterschiedlicher Art und Güte zu aggregieren imstande ist. Zum Abschluss werden erste gewonnene Informationen genutzt, um konkrete Handlungsempfehlungen abzuleiten.
Definitionen
Ein Zwischenziel dieser Arbeit ist, die Effizienz des fiktiven eigenen Krankenhauses “A1″ mit derjenigen der unmittelbaren Wettbewerber in der Region zu vergleichen (Benchmark). Hierzu muss jedoch Eindeutigkeit darüber bestehen, was in diesem Rahmen als “Effizienz” verstanden wird.
Zunächst ist festzuhalten, dass Benchmarks, die - wie im vorliegenden Fall - mit Kennzahlen arbeiten, nur relative Effizienzmaße liefern können:
Diejenige Vergleichseinheit (hier ein Krankenhaus) mit den besten Ergebnissen wird als effizient bezeichnet.
Je nach Methode ist ist diese Referenz nicht real, sondern nur virtuell existent - indem sie die besten Eigenschaften aller tatsächlichen Krankenhäuser kombiniert. Alle anderen Krankenhäuser werden an dieser Referenz gemessen. Wir werden später sehen, dass diese Referenz im Rahmen der DEA nicht gleich ist für jedes zu vergleichende Krankenhaus. Vielmehr wird die DEA dazu führen, dass jedes Krankenhaus im “besten Licht” stehen wird. Dies ist zu beachten, wenn man die gewonnenen Informationen auswertet. Hierauf geht Gilles (2005: 59f.) genauer ein. Dennoch bleibt der relative Effizienzbegriff für die DEA gültig.
Einen absoluten Effizienzvergleich könnte man nur ziehen, wenn die Technologie vollständig funktional wiedergegeben werden könnte. Dies ist nur selten, und dann auch nur approximativ, möglich. Zum absoluten Effizienzbegriff sei auf Samuelson und Nordhaus (1998: 37) verwiesen.
Die obige Definition impliziert, dass klar ist, welche Ergebnisse wünschenswert sind. Da eine DEA mit Input- und Output-Beziehungen arbeitet, bedeutet “bestes Ergebnis” in diesem Fall:
Dasjenige Krankenhaus, das die gegebenen Krankheitsfälle mit dem geringsten Ressourcenverbrauch bewältigt, liefert das beste Ergebnis in der Vergleichsgruppe.
Die Data Envelopment Analysis (DEA)
Kurzübersicht
Die Data Envelopment Analysis setzt eine Gruppe von Vergleichseinheiten mit identischen Input- und Outputvariablen in Beziehung zueinander, indem die relative Effizienz einer jeden Einheit berechnet wird; und zwar dergestalt, dass die Stärken jeder Vergleichseinheit mit maximalem Gewicht bewertet werden (Best-Case-Philosophie, Gilles 2005: 55).
Hierzu wird implizit eine theoretische Produktionsfunktion (die Hülle oder Envelope) aus den gegebenen Input- und Output-Ausprägungen zusammengesetzt. Jede Vergleichseinheit, die sich “am äußeren Rand” dieser Funktion befindet, wird als effizient im Rahmen dieses Vergleiches bezeichnet. Das Ergebnis der Berechnung ist in diesem Fall (z.B.) die Zahl 1. Alle anderen Einheiten sind ineffizient, wobei das Ergebnis kleiner 100% ist und angibt, wie weit sich die Vergleichseinheit vom “äußersten Rand” befindet. Eine Vergleichseinheit mit dem Ergebnis 0% würde dementsprechend den weitestmöglichen Abstand zum festgesetzten Optimum erreichen (vgl. auch Charnes, Cooper und Rhodes, 1978: 436).
Formalisiert man diese Überlegungen, benötigt man zunächst folgende Variablen (alle Ausführungen in diesem Abschnitt beziehen sich auf Gilles, 2005: 55-63):
Als Effizienzmaß wird der Quotient aus Summe der gewichteten Outputs und Summe der gewichteten Inputs bestimmt:
Wie bereits angerissen, werden die Gewichtungsfaktoren für jede Vergleichseinheit im Rahmen der DEA so zugewiesen, dass sie jeweils die individuellen Stärken am stärksten akzentuieren, deren Gewicht also maximieren; die Schwächen gehen dementsprechend mit dem kleinstmöglichen Gewicht ein.
Um diese Faktoren 
Ein kleines abstraktes Beispiel zur Verdeutlichung dieses Optimierungsproblems:
| Index | Input | Output |
|---|---|---|
| 1 | 100 | 200 |
| 2 | 300 | 800 |
| 3 | 500 | 900 |
Tabelle 1
Die untersuchte Einheit sei diejenige mit dem Index 3. Dann ergibt sich folgendes Optimierungsproblem:
Lautet das Ergebnis 
Auf die konkrete Lösung dieser Ungleichungen sei aus Platzgründen verzichtet.
Unterschiedliche Akzentuierungen innerhalb der DEA
Das Optimierungsproblem kann aus der Quotientenform heraus mit unterschiedlichen Prämissen und Schwerpunkten formuliert werden. In der soeben formulierten Version geht man davon aus, dass konstante Skalenerträge realisiert werden können. Mit anderen Worten: Im Rahmen der beschriebenen Technologie folgt aus einer Halbierung des Inputs eine Halbierung des Outputs, sofern man sich am “effizienten Rand” befindet. Nun kann es aber sein, dass durch Fixkostenblöcke, natürlichen Ressourcenbeschränkungen oder anderen Faktoren diese Linearität in der Realität nicht aufrecht erhalten werden kann.
Auch könnte man statt einer Input-Orientierung eine Output- oder keinerlei Orientierung wählen.
Im betrachteten Fall trifft das Effizienzmaß eine Aussage über den Effizienzabstand der Vergleichseinheit zum Optimum. Es werden also die bereits aggregierten Werte miteinander verglichen (radiales Effizienzmaß). Stattdessen könnte man jedoch auch den Abstand eines jeden einzelnen Input- und/oder Outputwerts mit den Referenzwerten messen und diesen Abstand aufsummieren. Dann spricht man von einem additiven Effizienzmaß. Zur Vertiefung dieser Begriffe sowie weiterer Variationen siehe Scheel (2000).
Dieser Abschnitt sollte deutlich machen, dass “die” DEA nicht existiert, sondern auf eine Vielzahl unterschiedlicher Varianten zurückgegriffen werden kann. Der folgende Abschnitt greift diese Erkenntnis auf und entwickelt in Anlehnung an Gilles (2005) ein einfaches Modell zur Gewinnung unterschiedlicher Effizienzgrößen.
Bewertungsschema
Da eine einzelne DEA nie ein komplettes Bild der zugrunde liegenden Daten liefert, erscheint es praktikabel, mehrere Variationen parallel einzusetzen. Im Ausgangspunkt gehen wir von einem inputorientierten Modell mit linearer Technologie aus und wählen ein radiales Effizienzmaß. Die Inputorientierung wird in Einklang mit der Literatur, etwa Reitzenstein und Schreyögg (2007), beibehalten. Hierbei wird davon ausgegangen, dass eine bestimmte Menge an Patienten versorgt werden muss, und nur auf den Ressourceneinsatz Einfluss genommen werden kann. Allerdings kann a priori nicht davon ausgegangen werden, dass konstante Skalenerträge realisierbar sind. Auch wird das Effizienzmaß variiert und es kommt ein additives Maß zum Einsatz. Als letzter Schritt dieser ersten groben Untersuchung werden die effizienten Vergleichseinheiten (also diejenigen mit einem Ergebnis von 100%) mittels der Supereffizienz in eine Rangfolge gebracht. Die Supereffizienz wurde von Andersen und Petersen (1993) beschrieben und führt eine DEA ohne eine bestimmte Limitierung durch, weswegen auch Effizienzgrade über 100% erreicht werden.
Das Bearbeitungsschema (nach Gilles, 2005: 178) lautet:
Abbildung 1
Diese Übersicht gibt als Vorarbeit vor, dass aus dem vorhandenen Datensatz geeignete Input- und Outputfaktoren zu bestimmen sind. Abgesehen davon, dass generell jede betrachtete Variable entweder Input oder Output sein muss, sollte die Anzahl der betrachteten Faktoren minimal sein. Denn wie unter anderen Jenkins und Anderson (2003: 51) bemerkten, führen mehr Variablen zu schlechteren Ergebnissen. Jenkins und Anderson (2003) schlagen eine Methode zur systematischen Reduzierung unwichtiger Variablen vor. Im Rahmen dieser Arbeit werden jedoch analog zu Reitzenstein und Schreyögg (2007) mehrere Variablen zu Kennzahlen zusammengefasst.
Der Datensatz und die gewählten Input- und Output-Faktoren
Hinweis: Die vorliegenden Rechnungen basieren auf ein Excel-Datenblatt, das vom Fachbebiet “Management im Gesundheitswesen” der TU Berlin ausgeteilt wurde. Daher werden die Rohdaten an dieser Stelle nicht widergegeben.
Der vorliegende Datensatz besteht aus folgenden Informationen für jedes der insgesamt 30 betrachteten Krankenhäuser:
| Trägerschaft | Basis-Fallwert | Casemix-Index | Betten | Auslastung | Ambulante Fälle |
| Stationäre Fälle | Ärzte | Pflegekräfte | Sonstiges Personal | Durchschn. Verweildauer | NUB-Anträge |
Tabelle 2
Diese Zahlen sollten soweit möglich zusammengefasst oder weggelassen werden und werden parallel dazu als Input- oder Outputfaktoren bestimmt. Im Ergebnis könnte man folgende Aufteilung erhalten:
Inputs
- Personenkennzahl:
- Bettenanzahl
- Basisfallwert
Outputs
- Casemix:
- Fälle ambulant
- Auslastung
Weggelassen wurde die Anzahl der NUB-Anträge (Neue Untersuchungs- und Behandlungsmethoden). Die NUB-Anträge könnten als Kennzahl für die Innovationskraft eines Krankenhauses angesehen werden. Allerdings sagen die Anträge alleine wenig aus. Interessanter wären die Zahlen der bewilligten Anträge, und das im besten Fall gemittelt über einen längeren Zeitraum. (Zu NUB im Allgemeinen siehe auch InEK, 2007).
Die Personalkennzahl wird mit den Gehaltsgewichten aus Reitzenstein und Schreyögg (2007: 407) berechnet. Die Gewichte sind: Ärzte – 1; Pflegekräfte – 0,52; sonstiges Personal – 0,66.
Die erste Outputvariable ist der reine Casemix, nicht jedoch das Budget für den stationären Bereich, das sich aus der weiteren Multiplikation mit dem Basisfallwert ergäbe. Würde man das Budget heranziehen, würden Krankenhäuser mit hohem Basisfallwert im Rahmen der DEA bevorzugt. Jedoch möchte man gerade diejenigen Krankenhäuser identifizieren, die mit minimalem Budget Maximales leisten.
Die Variable “Auslastung” könnte man als redundant ansehen, da sie indirekt das Gleiche aussagt wie die Bettenanzahl. Theoretisch gesehen sollte die Auslastung steigen, wenn die Bettenanzahl sinkt. Damit wäre diese Zahl also linear abhängig von der Bettenanzahl. (Diese wiederum kann nach Lothgren und Tambour [1999: 1235] als Kennzahl für das investierte Kapital angesehen werden, genau wie der Basisfallwert.)
Die Verweildauer schließlich fließt als Kehrwert in die Berechnung ein, um dem Grundsatz der restlichen Outputvariablen “mehr ist besser” zu genügen. Als letztes sei angemerkt, dass der vorhandene Datensatz keine Anzeichen dafür gibt, dass die durchschnittliche Verweildauer im Zusammenhang zum Casemix-Index steht: Die Korrelation beträgt lediglich 19%. Daher muss diese Variable berücksichtigt bleiben.
Durchführung der DEA, erster Schritt
Da der Rahmen dieser Arbeit bei Durchführung aller vier Schritte gesprengt werden würde, beschränken wir uns für eine erste Analyse auf den ersten Schritt; der Berechnung von Effizienzwerten anhand eines inputorientierten Modells mit konstanten Skalenerträgen und radialem Effizienzmaß. Die wichtigsten Ergebnisse des Krankenhauses A1 sowie aller effizienten herangezogenen Krankenhäuser sind in der folgenden Tabelle dargestellt, erweitert um die Effizienzwerte bei Modellierung mit Supereffizienz:
| Vergleichseinheit | Benchmarks | Effizienzzahl | Supereffizienz |
|---|---|---|---|
| A1 | A14,A26,A29 | 83,14% | 83,14% |
| A4 | 1x | 100,00% | 104,92% |
| A8 | 1x | 100,00% | 103,49% |
| A11 | 1x | 100,00% | 110,01% |
| A12 | 1x | 100,00% | 100,00% |
| A14 | 16x | 100,00% | 144,37% |
| A22 | 12x | 100,00% | 112,89% |
| A23 | 1x | 100,00% | 102,37% |
| A26 | 14x | 100,00% | 231,72% |
| A27 | 13x | 100,00% | 345,41% |
| A29 | 4x | 100,00% | 141,82% |
Tabelle 3
Ergebnisevaluierung
Benchmark und Rangfolgebildung
Die Spalte “Benchmark” gibt zwei verschiedene Informationen: Für das ineffiziente Krankenhaus A1 werden hier die effizienten zum Vergleich herangezogenen Krankenhäuser genannt. Bei den effizienten Häusern gibt die Zahl an, von wie vielen Krankenhäusern diese als Referenz herangezogen worden sind. Diese Zahl kann als ein Qualitätsindikator angesehen werden: Je öfter ein effizientes Krankenhaus als Vergleich herangezogen worden ist, desto “ausgeglichener” sind die erbrachten Leistungen über alle Faktoren hinweg (Gilles 2005: 175).
Wie Gilles (2005: 59f) anmerkt, wäre es äußerst gefährlich, die Effizienzzahlen der Krankenhäuser direkt miteinander zu vergleichen und letztere in eine Rangfolge zu bringen. Die Zahlen müssen immer in Kombination zu den herangezogenen Benchmarks gesehen werden. Dies sind die Krankenhäuser, die für die jeweilige Vergleichseinheit als Referenz herangezogen worden sind. Beim Krankenhaus A1 sind dies die Krankenhäuser A14, A26 und A29: Im Vergleich zu diesen Häusern ist A1 ineffizent.
Die Supereffizienz ist ein Maß dafür, wie stark der Input gesteigert werden könnte, ohne den Status “effizient” zu verlieren (vgl. Gilles 2005: 195).
Keines der in der Tabelle verwendeten Maße eignet sich, eine konkrete Rangfolge festzulegen. Vielmehr gibt erst die Betrachtung der Input- und Output-Gewichte Aufschluss darüber, in welchen Bereichen welches Krankenhaus besonders gut abschneidet und damit die Referenz für andere Krankenhäuser darstellt.
Schlüsse für Krankenhaus A1
Die Vergleichskrankenhäuser für A1 sind die Häuser A14, A26 und A29. Eine detaillierte Übersicht der Input- und Outputgewichte zeigt folgende Tabelle:
| Vergleichseinheit | A1 | A14 | A26 | A29 |
| Personalanzahl | 0,41 | 0 | 0 | 0 |
| Bettenanzahl | 0 | 0 | 1 | 0,39 |
| Basisfallwert | 0,59 | 1 | 0 | 1 |
| Casemix | 0,59 | 0,32 | 0 | 0 |
| Fälle ambulant | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Auslastung | 0 | 0,11 | 0 | 0 |
| 1/Verweildauer | 0,41 | 0,58 | 1 | 0 |
Tabelle 4
Aus dieser sowie der vorhergehenden Tabelle kann man eine ganze Reihe von Schlüssen ziehen:
- Das Krankenhaus A1 müsste seinen Ressourcenaufwand insgesamt um knapp 17% senken, um effizient zu sein. Mit anderen Worten: 17% der eingesetzten Ressourcen gelten im Vergleich zu den herangezogenen Referenzen als verschwendet.
- Berechnet man das virtuelle Referenz-Krankenhaus aus den gewichteten Anteilen der Benchmark-Partner für A1 (A14: 0,22; A26: 0,25; A29: 0,37), kommt man zu folgendem Ergebnis:
Vergleichseinheit A1 Virtuell Personalanzahl 953,7 788,62 Bettenanzahl 600 421,07 Basisfallwert 2654,28 2196,93 Casemix 41796,75 41602,79 Fälle ambulant 13878 14292,72 Auslastung 0,58 0,66 1/Verweildauer 0,2 0,2 Tabelle 5
Diese Übersicht zeigt, dass zu viel Personal und zu viele Betten vorgehalten werden. Würden diese Zahlen gesenkt, würde auch der Basisfallwert (automatisch) sinken. - Die größte Stärke auf Inputseite besitzt das Krankenhaus A1 bei der Personenkennzahl sowie dem Basisfallwert. Die DEA legt also eine Verringerung der Bettenanzahl nahe.
- Die relative Stärke auf Outputseite ist ganz klar die stationäre Behandlung. Das Krankenhaus A1 sollte also ernsthaft Strategien für eine effizientere ambulante Versorgung entwickeln.
- Die Auslastung – ebenfalls eine Schwäche – würde im Zuge einer Verringerung der Bettenanzahl erhöht werden. Bei einer hypothetischen Verringerung der Bettenanzahl auf 420 würde die Auslastung auf rechnerisch steigen. Führt man anschließend eine erneute DEA durch, wäre das Krankenhaus A1 effizient. Die Personalkennzahl und die ambulante Versorgung wären im Übrigen nach wie vor deutliche Schwachpunkte und würden nicht in die Bewertung eingehen.
Literatur
Andersen P, Petersen NC, 1993. A Procedure for Ranking Efficient Units in Data Envelopment Analysis. In Management Science 39 (10), 1261 – 1294.
Charnes A, Cooper WW, Rhodes E, 1978. Measuring the Efficiency of Decision Making Units. In European Journal of Operational Research 2, 429 – 444.
Gilles R, 2005. Performance Measurement mittels Data Envelopment Analysis.
InEK, 2007. Verfahrenseckpunkte, http://www.g-drg.de/cms/index.php/inek_site_de/neue_untersuchungs_und_behandlungsmethoden_nub/verfahrenseckpunkte (06.01.2008).
Jenkins L, Anderson M, 2003. A Multivariate Statistical Approach to Reducing the Number of Variables in Data Envelopment Analysis. In European Journal of Operational Research 147, 51 – 61.
Lothgren M, Tambour M, 1999. Testing Scale Efficiency in DEA Models: a Bootstrapping Approach. In Applied Economics 31 (10), 1231 – 1237.
Reitzenstein C, Schreyögg J, 2007. Benchmarking von Universitätsklinika mittels Data Envelopment Analysis (DEA). In Wirtschaftswissenschaftliches Studium – WiSt 8, 405 – 411.
Samuelson PA, Nordhaus WD, 1998. Volkswirtschaftslehre – Übersetzung der 15. Auflage.
Scheel H, 2000. Effizienzmaße der Data Envelopment Analysis.
Hinweis
Dieser Artikel entstand im Januar 2008, im Rahmen des Moduls “Management im Gesundheitswesen” an der TU Berlin.
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